ติวคณิตศาสตร์
หน้าแรกเทคนิคการคิดเลขเร็วป.1 - ป.6ม.1 - ม.3ม.4 - ม.6ผู้ทำเว็บ

ลำดับการคำนวณ

เรื่องที่เกี่ยวข้อง
การคำนวณเลขบวกและเลขลบ

แบบฝึกหัดข้อสอบ
ลำดับการคำนวณ


วิดีโอสอนลำดับการคำนวณ

จัดลำดับการคำนวณ

2 + 3 x 4 = ?

ถ้าคำนวณ บวก ก่อนจะได้คำตอบ 20 ดังนี้
2 + 3 x 4 = 5 x 4
= 20

ถ้าคำนวณ คูณ ก่อนจะได้คำตอบ 14 ดังนี้
2 + 3 x 4 = 2 + 12
= 14

คำตอบที่ถูกคือ 20 หรือ 14 ?




ใช้เครื่องคิดเลขคำนวณโจทย์ข้อนี้ได้คำตอบเท่าไร ?
เครื่องคิดเลขทุกยี่ห้อคำนวณโจทย์ข้อนี้ได้คำตอบเท่ากันหรือไม่ ?
ใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ประเภท spreadsheet คำนวณโจทย์ข้อนี้ได้คำตอบเท่ากับคำนวณจากเครื่องคิดเลขหรือไม่ ?

โจทย์เลขข้อเดียวกันแต่จัดลำดับการคำนวณต่างกัน ได้คำตอบต่างกัน ลำดับการคำนวณจึงมีความสำคัญต่อคำตอบ เพื่อให้โจทย์ข้อเดียวกันได้คำตอบเท่ากันทุกครั้งที่คำนวณ ไม่ว่าจะให้ใครคำนวณ หรือใช้เครื่องคิดเลข เครื่องคอมพิวเตอร์ยี่ห้อใด จึงต้องมีข้อตกลงที่เป็นสากลใช้เหมือนกันทั่วโลก ผู้ผลิตเครื่องคิดเลข โปรแกรมคอมพิวเตอร์ ต่างยึดข้อตกลงเดียวกัน อุปกรณ์ใดๆ ที่คำนวณโจทย์ข้อเดียวกันจึงได้คำตอบเท่ากัน


ลำดับการคำนวณที่ตกลงกันเป็นสากลใช้เหมือนกันทั่วโลก เป็นดังนี้
ลำดับที่ 1 คำนวณใน ( ) ถ้ามี ( ) ซ้อนกันหลายวงเล็บ คำนวณจากชั้นในสุดออกมา
ลำดับที่ 2 คำนวณ เลขยกกำลัง และ กรณฑ์() จากซ้ายไปขวา
ลำดับที่ 3 คำนวณ คูณและหาร จากซ้ายไปขวา
ลำดับที่ 4 คำนวณ บวกและลบ จากซ้ายไปขวา

ข้อตกลงนี้ถูกนำมาใช้ในการทำโจทย์ข้อสอบด้วย โจทย์ระคนที่มี บวก ลบ คูณ หาร อยู่ในข้อเดียวกัน ถ้านักเรียนไม่จัดลำดับการคำนวณตามข้อตกลงดังกล่าวข้างต้น ผลลัพธ์ที่คำนวณได้จะถูกตัดสินว่าเป็นคำตอบที่ผิด เพราะได้ผลลัพธ์ไม่เท่ากับผลลัพธ์จากเครื่องคิดเลข หรือเครื่องคอมพิวเตอร์

คำตอบที่ถูกต้องของ 2 + 3 x 4 คือ 14
เพราะตามข้อตกลงที่เป็นสากล ต้องคำนวณ คูณ ก่อน แล้วจึงคำนวณ บวก

ตัวอย่าง

10 + (2 + 1)2 + (7 - 2)3 + 5(3 - 7) ÷ 2 - 2 = ?

จัดลำดับการคำนวณตามข้อตกลงดังนี้
ลำดับที่ 1 คำนวณใน ( )
10 + (2 + 1)2 + (7 - 2)3 + 5(3 - 7) ÷ 2 - 2
= 10 + (3)2 + (5)3 + 5(-4) ÷ 2 - 2
ลำดับที่ 2 คำนวณเลขยกกำลัง
= 10 + (3)2 + (5)3 + 5(-4) ÷ 2 - 2
= 10 + 9 + 125 + 5(-4) ÷ 2 - 2
ลำดับที่ 3 คำนวณ คูณและหาร
= 10 + 9 + 125 + 5(-4) ÷ 2 - 2
= 10 + 9 + 125 - 10 - 2
ลำดับที่ 4 คำนวณ บวกและลบ
= 132

กฏระบุว่า

ในแต่ละลำดับ หากมีจำนวนที่ต้องคำนวณหลายจำนวน ให้คำนวณทีละจำนวนจากซ้ายไปขวา

ถ้าปฏิบัติตามกฏจะได้คำตอบถูกต้องเสมอ
แต่ในทางปฏิบัติ ถ้าเข้าใจคุณสมบัติการคำนวณแล้ว ในแต่ละลำดับ ไม่จำเป็นต้องยึดหลักการคำนวณจากซ้ายไปขวา สามารถเลือกคำนวณจำนวนใดก่อนหลังก็ได้ ซึ่งผลสุดท้ายจะได้คำตอบเท่ากัน แต่ความยากง่ายต่างกัน ทำให้ใช้เวลาคำนวณต่างกัน

จากตัวอย่างข้างบน
การคำนวณในลำดับที่ 4 เป็นการคำนวณ บวกและลบ
หากยึดตามกฏคำนวณจากซ้ายไปขวาจะป็นดังนี้

10 + 9 + 125 - 10 - 2
= 19 + 125 - 10 - 2
= 144 - 10 - 2
= 134 - 2
= 132

หากจัดลำดับการคำนวณใหม่
โดยคำนวณจำนวนที่คำนวณง่ายก่อน
จะทำให้ใช้เวลาคำนวณน้อยลง
โดยที่คำตอบยังคงถูกต้อง

10 + 9 + 125 - 10 - 2
เลือกคำนวณ 10 - 10 = 0 ก่อน เพราะตัวตั้งเท่ากับตัวลบ จึงลบเลขง่าย

= 9 + 125 - 2
เลือกคำนวณ 9 - 2 = 7 ก่อน เพราะเป็นเลขหลักเดียวคำนวณง่ายกว่าเลข 3 หลัก

= 7 + 125

= 132

การคำนวณ คูณและหาร ก็สามารถจัดลำดับใหม่เพื่อให้คำนวณง่ายขึ้น
ใช้เวลาน้อยลง โดยที่คำตอบยังคงถูกต้อง

ตัวอย่างต่อไปนี้ แสดงการคำนวณคูณและหารจากซ้ายไปขวาโดยคำนณทีละคู่

เปรียบเทียบกับการจัดลำดับการคำนวณใหม่เพื่อให้เห็นความยากง่ายในการคำนวณ

27 x 4 ÷ 9 x 5 = ?

คำนวณทีละคู่จากซ้ายไปขวา

27 x 4 ÷ 9 x 5

= 108 ÷ 9 x 5

= 12 x 5

= 60

โจทย์ข้อนี้จัดลำดับการคำนวณใหม่โดยจัดวางตัวเลขในรูปของเศษส่วน
คือวางตัวคูณไว้ข้างบน (ตัวเศษ) และวางตัวหารไว้ข้างล่าง (ตัวส่วน)

การวางตัวเลขในลักษณะนี้ทำให้แยกตัวตั้ง ตัวคูณ
และ ตัวหาร ออกจากกันอย่างชัดเจน
หาจำนวนที่สามารถหารทั้งตัวบน(ตัวเศษ)
และตัวล่าง(ตัวส่วน) ลงตัวมาทอนตัวเลขให้น้อยลง
= 3 x 4 x 5ตัวเลขที่ถูกทอนให้น้อยลง ทำให้คำนวณง่าย ลดความเสี่ยงในการคำนวณผิด

= 60ได้คำตอบเท่ากับการคำนวณทีละคู่จากซ้ายไปขวา

การจัดลำดับการคูณและหารในลักษณะนี้จะเห็นประโยชน์ชัดเจนยิ่งขึ้น
ในกรณีที่หารไม่ลงตัว ดังตัวอย่างนี้

7 x 5 ÷ 3 x 6 = ?

คำนวณทีละคู่จากซ้ายไปขวา

7 x 5 ÷ 3 x 6

= 35 ÷ 3 x 6

หารไม่ลงตัวปัดทศนิยมของผลหารเป็นเลขทศนิยม 3 ตำแหน่ง

= 11.667 x 6

= 70.002

โจทย์ข้อนี้จัดลำดับการคำนวณใหม่โดยจัดวางตัวเลขในรูปของเศษส่วน
คือวางตัวคูณไว้ข้างบน (ตัวเศษ) และวางตัวหารไว้ข้างล่าง (ตัวส่วน)

การวางตัวเลขในลักษณะนี้ทำให้แยกตัวตั้ง ตัวคูณ
และ ตัวหาร ออกจากกันอย่างชัดเจน
หาจำนวนที่สามารถหารทั้งตัวบน(ตัวเศษ)
และตัวล่าง(ตัวส่วน) ลงตัวมาทอนตัวเลขให้น้อยลง
= 7 x 5 x 2ตัวล่าง (ตัวหาร) ถูกทอนเป็น 1
จึงไม่ต้องหาร ทำให้คำนวณง่ายขึ้น


= 70ได้คำตอบเป็นจำนวนเต็ม
ซึ่งดูเหมือน คำตอบจะไม่เท่ากับการคำนวณทีละคู่จากซ้ายไปขวา

ถ้านำโจทย์ข้อนี้ไปป้อนเข้าเครื่องคิดเลข หรือเครื่องคอมพิวเตอร์จะได้คำตอบเป็นจำนวนเต็มคือ 70

ทำไมการคำนวณทีละคู่จากซ้ายไปขวาจึงได้คำตอบ 70.002 ?

เศษ 0.002 เกิดจากความคลาดเคลื่อนเนื่องจากปัดเศษผลหารในกรณีที่หารไม่ลงตัว
และเลือกปัดผลหารให้เป็นทศนิยม 3 ตำแหน่ง
ถ้าปัดผลหารให้เป็นทศนิยม 20 ตำแหน่ง
ความคลาดเคลื่อนจะน้อยมากจนคำตอบในขั้นตอนสุดท้ายกลายเป็นจำนวนเต็มคือ 70

การใช้คนคำนวณคำตอบที่เป็นทศนิยม 20 ตำแหน่งเป็นเรื่องยุ่งยากมาก
แต่การคำนวณทศนิยม 20 ตำแหน่งในเครื่องคิดเลขหรือเครื่องคอมพิวเตอร์เป็นเรื่องที่ปฏิบัติกันเป็นปรกติ เพื่อให้ได้คำตอบที่ถูกต้องไม่คลาดเคลื่อน หรือคลาดเคลื่อนน้อยที่สุด

ดังนั้น ในกรณีที่หารไม่ลงตัวให้หลีกเลี่ยงการปัดเศษ
โดยนำตัวตั้งและตัวหารทั้งหมดมาเขียนในรูปเศษส่วน
และเลือกคู่ที่หารลงตัว (ถ้าทำได้)

ประยุกต์ลำดับการคำนวณกับโจทย์ปัญหา

ตัวอย่างการนำหลักการนี้ไปใช้

ชาวสวนบรรจุลิ้นจี่ใส่ลัง ขาย 3 ลัง 500 บาท ให้ส่วนลด 4% เมื่อซื้อตั้งแต่ 20 ลังขึ้นไป
พ่อค้าคนหนึ่งซื้อลิ้นจี่จากชาวสวน 23 ลัง เขาต้องจ่ายเงินทั้งหมดกี่บาท


ราคาลิ้นจี่ 3 ลัง =

500 บาท

ราคาลิ้นจี่ 1 ลัง = 500 ÷ 3

หารไม่ลงตัว อย่าเพิ่งหาร

= เก็บราคาลิ้นจี่ 1 ลังไว้ในรูปเศษส่วนก่อน
เพื่อรอตัวเลขอื่นที่จะเข้ามาร่วมคำนวณในขั้นถัดไป


ราคาลิ้นจี่ 23 ลัง = ยังไม่มีตัวตั้งที่หารด้วย 3 ลงตัว
จึงเก็บตัวเลขทั้งหมดนี้ไว้ในรูปเศษส่วนต่อไป

ได้ส่วนลด 4%

ดังนั้น จ่ายเงิน = 100% - 4% = 96% ของราคาสินค้า

96% ของราคาสินค้า = 0.96 x ราคาสินค้า

หลังจากได้รับส่วนลด 4% แล้ว พ่อค้าจ่ายเงิน =
= นำ 3 ไปหาร 0.96 ได้ลงตัว
= 0.32 x 500 x 23
= 0.32 x 100 x 5 x 23 แยก 500 เป็น 100 x 5 เพื่อนำ 100 ไปคูณกับเลขทศนิยม

= 32 x 5 x 23 เลือกคำนวณ 32 x 5 ก่อน เพราะได้ผลคูณลงท้ายด้วย 0

= 160 x 23 จำนวนที่ลงท้ายด้วย 0
ช่วยให้คูณเลขง่าย


= 3,680
พ่อค้าจ่ายเงิน 3,680 บาท
  
ผู้ชม 58,360 ผู้ลงคะแนน 73 คะแนนเฉลี่ย 5
เรื่องที่เกี่ยวข้อง
การคำนวณเลขบวกและเลขลบ

แบบฝึกหัดข้อสอบ
ลำดับการคำนวณ
 
ผังเครือญาติ

การนำญาติทุกคนมาอยู่กันพร้อมหน้าเพื่อทำความรู้จักกันเป็นเรื่องที่เป็นไปไม่ได้ ถ้าเริ่มนับจากรุ่นทวดลงมาถึงรุ่นเหลน จำนวนสมาชิกอาจมีมากกว่า 50 คน สมาชิกในรุ่นหลานเหลนมักไม่รู้จักกันเพราะบุคคลอาวุโสที่เป็นตัวเชื่อมเสียชีวิตไปแล้ว

ถ้าทุกครอบครัวเขียนผังครอบครัวของตัวเองแล้วนำมาต่อกันเหมือนต่อจี๊กซอว์ จะได้ผังเครือญาติขนาดใหญ่ที่มีสมาชิกครบทุกคน ญาติทุกคนสามารถทำความรู้จักกันด้วยข้อมูลในผังเครือญาติที่บอกชัดเจนว่าใครเป็นลูกหลานใคร แนวคิดนี้เป็นจริงได้ไม่ยากเพราะปัจจุบันมีอินเตอร์เน็ตที่ทุกคนใช้ในชีวิตประจำวันอยู่แล้ว แค่เรียนรู้เครื่องมือสร้างผังครอบครัวและเชื่อผังครอบครัวเข้าด้วยกัน
...คลิกที่นี่เพื่อดูรายละเอียด...


สงวนลิขสิทธิ์ตามกฏหมาย Copyright (C) 2011-2017 All rights reserved.